第54章康德尔的光!
光阴似箭,白驹过隙。
时间过得真快,弹指之间就来到了第二天。
前文有表,CMO考试分为两天,昨天三道题的4.5个小时为上半场,今天的下半场考试同样是4.5小时、同样的三道题、同样的分数。
这是一场持久战,也是对广大数学竞赛生的最重要一战,这一战将决定选手们是保送还是回去高考。这考验的不仅是选手们的数学实力,更是坚定不移的意志力和心理承受能力!
而这些选手普遍不满18周岁。
王庭柏静坐在昨天的位置上等待下半场的考卷的发放。
CMO上半场的考卷已于昨天全部密封,将在今天的考试结束后,六道题一起批阅。
王庭柏信心十足,昨天的三道题他能拿到满分,但战斗尚未结束,今天的三道题还需奋战到底,容不得一丝马虎。
考场外的王庭柏有点紧张,心率很快,一旦拿起笔,心态立马平稳了起来,笔就是他的武器。
CMO下半场的第一题:
用Z表示全体整数构成的集合。求所有的函数:f:Z→Z,满足任意的整数a、b,
均有f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))。
题目很短很短,只有寥寥几字,但是王庭柏却顿时感受到了它的压力。
在别的科目里,很短的题目基本上都是送分题,但是在数学里,就像是证明1个偶数可分为2个质数相加一样,哥德巴赫在1742年提出这個看似简单的问题到现在还没一位数学家能完整破解。
题目越短意味着能在题目上获取的信息越少,难度自然也就越大。
f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))
王庭柏看着题目,感受到了曾经作为学渣做数学题的感觉,竟不知如何下手。
这是一道函数方程,按照套路来做的话,首先很容易可以盲猜到零解和f(x)=2x的解。如果f是数论函数的话,那么f(f(a+b))这一项就难出天际了。如果f是n次的多项式函数的话,那f(f(a+b))这边的次数会变成n2,而左边依旧是n。
肯定是有什么其他的办法。
看到这第一题,顶尖学子们都不由自主的倒吸一口凉气,在这里参加考试的选手都是全国最顶级的学子。
但遇到这题有些人已经开始冒冷汗,有些人则主动放弃看向了下一题。
还有人可能灵光一现,想到了一种方法,但是片刻之后,眼里的神采就暗淡下来,这条路很难行得通。
王庭柏仔细的观察了一下题目,脑海中闪过了柯西方程的概念。
将题中等式记为P(a,b)。
由P(0,x)得f(0)+2f(x)=f(f(x)),①
由P(x,0)的广(2x)+2f(0)=f(f(x)),②
由①,②可得得f(2x)=2f(x)-f(0),③
再将③带入到
王庭柏的笔停了下来,再带入的话能有什么呢?
王庭柏觉得自己的思路应该是没有问题的,下一步采用柯西方法,应该能够解决问题。
但是突然灵光就中断了,足足想了10分钟,愣是没想出来下步该如何代入,如何使用柯西方程。
做数学题,最难受的时候就是卡在一个关节点,虽说本场考试的时间足足有四个半小时。但在数学的世界里,没有那灵机一动,想到死都可能突破不了瓶颈。
王庭柏放下了手中的笔,深吸了一口气。
回过头来重新思考。
其实在这种重要考试里,遇到瓶颈后,不建议头铁的一直卡住,可以先去看看后面的题换个思路并且不浪费时间。
但是王庭柏有种莫名的不服,似乎有强迫症一般,非得把这题解决了!
作为学神怎么能放弃?
虽然说他可以直接开启【脑力负载模式】直接加速思维秒杀这题,但如果万事都只能靠外挂来解决,那么他每天练习的意义何在呢,每天艰苦的啃着“难以下咽”的数学书是为了什么呢?
王庭柏的思路回到最初的起点,f不会是数论函数,f也不会是n次的多项式函数,这个f还是还能是什么呢?
不就是一次函数或者常数函数吗!
王庭柏再次拿起了笔,他知道他刚才有些钻牛角尖了。
不用死命的用柯西方程,可以使用差分方法。
王庭柏隐隐约约的抓住了那一道光,只要沿着一道光路走下去,将条理理清楚,就能完美的解决问题。
王庭柏喝了一口水,突然灵光闪现。
康德尔!
康托尔向我们证明了亚里斯多德的理论与集合论相反。如果我们将一个添加到无限集合中,那么它将不再是同一集合。他试图比较无穷大。例如,康托尔证明(0,1)→N的所有函数的集合都是可数的。因此,他定义了从区间(0,1)到自然数的一对一函数。
取b=0,f(0)+2f(a)=f(f(a)),令任意的整数f(a)为n则,f(n)=2n+c(f(0)),由康德尔无穷可数集{a}与{f(a)}一样多,结果成立,当然也包括f(0)=0。
对就是这样!
故满足条件的函数f(x)=0或者f(x)=2x+c(c为任意常数)
答毕!
王庭柏吐出闷在胸口的一股气,一股巨大的成就感油然而生。
思路来了,难题马上斩于马下!
再回头来看柯西方程的思路,在答案的引领下将③可以代入到原式子中,由柯西方法,知对任意的整数n,均有g(n)=g(1)n。
再顺着做也可以得出函数f(x)=0或者f(x)=2x+c(c为任意常数)的结论。
万无一失!
两种方法都是正确的。
第一题,完美收工!
他将目光移向第二题:
巴斯银行发行的硬币在一面上铸有H,在另一面上铸有T,哈利有n枚这样的硬币并将这些硬币从左至右排成一行.他反复地进行如下操作:如果恰有k>0枚硬币T面朝上,则他将从左至右的第k枚硬币翻转;如果所有硬币都是T面朝上,则停止操作.例如:当n=3,并且初始状态是THT,则操作过程为THT→HHT→HTT→TTT,总共进行了三次操作后停止。
(1)证明:对每个初始状态,哈利总在有限次操作后停止,
(2)对每个初始状态C,记L(C)为哈利从初始状态C开始至停止操作时的操作次数例如L(THT)=3,L(TTT)=0。
求C取遍所有2^n个可能的初始状态时得到的L(C)的平均值
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时间过得真快,弹指之间就来到了第二天。
前文有表,CMO考试分为两天,昨天三道题的4.5个小时为上半场,今天的下半场考试同样是4.5小时、同样的三道题、同样的分数。
这是一场持久战,也是对广大数学竞赛生的最重要一战,这一战将决定选手们是保送还是回去高考。这考验的不仅是选手们的数学实力,更是坚定不移的意志力和心理承受能力!
而这些选手普遍不满18周岁。
王庭柏静坐在昨天的位置上等待下半场的考卷的发放。
CMO上半场的考卷已于昨天全部密封,将在今天的考试结束后,六道题一起批阅。
王庭柏信心十足,昨天的三道题他能拿到满分,但战斗尚未结束,今天的三道题还需奋战到底,容不得一丝马虎。
考场外的王庭柏有点紧张,心率很快,一旦拿起笔,心态立马平稳了起来,笔就是他的武器。
CMO下半场的第一题:
用Z表示全体整数构成的集合。求所有的函数:f:Z→Z,满足任意的整数a、b,
均有f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))。
题目很短很短,只有寥寥几字,但是王庭柏却顿时感受到了它的压力。
在别的科目里,很短的题目基本上都是送分题,但是在数学里,就像是证明1个偶数可分为2个质数相加一样,哥德巴赫在1742年提出这個看似简单的问题到现在还没一位数学家能完整破解。
题目越短意味着能在题目上获取的信息越少,难度自然也就越大。
f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))
王庭柏看着题目,感受到了曾经作为学渣做数学题的感觉,竟不知如何下手。
这是一道函数方程,按照套路来做的话,首先很容易可以盲猜到零解和f(x)=2x的解。如果f是数论函数的话,那么f(f(a+b))这一项就难出天际了。如果f是n次的多项式函数的话,那f(f(a+b))这边的次数会变成n2,而左边依旧是n。
肯定是有什么其他的办法。
看到这第一题,顶尖学子们都不由自主的倒吸一口凉气,在这里参加考试的选手都是全国最顶级的学子。
但遇到这题有些人已经开始冒冷汗,有些人则主动放弃看向了下一题。
还有人可能灵光一现,想到了一种方法,但是片刻之后,眼里的神采就暗淡下来,这条路很难行得通。
王庭柏仔细的观察了一下题目,脑海中闪过了柯西方程的概念。
将题中等式记为P(a,b)。
由P(0,x)得f(0)+2f(x)=f(f(x)),①
由P(x,0)的广(2x)+2f(0)=f(f(x)),②
由①,②可得得f(2x)=2f(x)-f(0),③
再将③带入到
王庭柏的笔停了下来,再带入的话能有什么呢?
王庭柏觉得自己的思路应该是没有问题的,下一步采用柯西方法,应该能够解决问题。
但是突然灵光就中断了,足足想了10分钟,愣是没想出来下步该如何代入,如何使用柯西方程。
做数学题,最难受的时候就是卡在一个关节点,虽说本场考试的时间足足有四个半小时。但在数学的世界里,没有那灵机一动,想到死都可能突破不了瓶颈。
王庭柏放下了手中的笔,深吸了一口气。
回过头来重新思考。
其实在这种重要考试里,遇到瓶颈后,不建议头铁的一直卡住,可以先去看看后面的题换个思路并且不浪费时间。
但是王庭柏有种莫名的不服,似乎有强迫症一般,非得把这题解决了!
作为学神怎么能放弃?
虽然说他可以直接开启【脑力负载模式】直接加速思维秒杀这题,但如果万事都只能靠外挂来解决,那么他每天练习的意义何在呢,每天艰苦的啃着“难以下咽”的数学书是为了什么呢?
王庭柏的思路回到最初的起点,f不会是数论函数,f也不会是n次的多项式函数,这个f还是还能是什么呢?
不就是一次函数或者常数函数吗!
王庭柏再次拿起了笔,他知道他刚才有些钻牛角尖了。
不用死命的用柯西方程,可以使用差分方法。
王庭柏隐隐约约的抓住了那一道光,只要沿着一道光路走下去,将条理理清楚,就能完美的解决问题。
王庭柏喝了一口水,突然灵光闪现。
康德尔!
康托尔向我们证明了亚里斯多德的理论与集合论相反。如果我们将一个添加到无限集合中,那么它将不再是同一集合。他试图比较无穷大。例如,康托尔证明(0,1)→N的所有函数的集合都是可数的。因此,他定义了从区间(0,1)到自然数的一对一函数。
取b=0,f(0)+2f(a)=f(f(a)),令任意的整数f(a)为n则,f(n)=2n+c(f(0)),由康德尔无穷可数集{a}与{f(a)}一样多,结果成立,当然也包括f(0)=0。
对就是这样!
故满足条件的函数f(x)=0或者f(x)=2x+c(c为任意常数)
答毕!
王庭柏吐出闷在胸口的一股气,一股巨大的成就感油然而生。
思路来了,难题马上斩于马下!
再回头来看柯西方程的思路,在答案的引领下将③可以代入到原式子中,由柯西方法,知对任意的整数n,均有g(n)=g(1)n。
再顺着做也可以得出函数f(x)=0或者f(x)=2x+c(c为任意常数)的结论。
万无一失!
两种方法都是正确的。
第一题,完美收工!
他将目光移向第二题:
巴斯银行发行的硬币在一面上铸有H,在另一面上铸有T,哈利有n枚这样的硬币并将这些硬币从左至右排成一行.他反复地进行如下操作:如果恰有k>0枚硬币T面朝上,则他将从左至右的第k枚硬币翻转;如果所有硬币都是T面朝上,则停止操作.例如:当n=3,并且初始状态是THT,则操作过程为THT→HHT→HTT→TTT,总共进行了三次操作后停止。
(1)证明:对每个初始状态,哈利总在有限次操作后停止,
(2)对每个初始状态C,记L(C)为哈利从初始状态C开始至停止操作时的操作次数例如L(THT)=3,L(TTT)=0。
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