第36章竞赛二
第二题是一道平面集合题。
卷面上的条件不多,但是图形却略显复杂。
大三角里套着三个小三角形,还有一个倒着的梯形,圆与三角形相交,并作了它们的切线,还有各种延长线以及延长线的交点,纵横交错,穿过圆和三角形的直线有十多条。
正常高中生看到这种题,立即就会产生将试卷撕毁的冲动。
题目给了几个已知条件,最上面的三角形△ABC为锐角三角形,且∠BAC不等于60°,外接圆的两条切线和交点的连线长度相同。
要求答题者求证其中两個交点M,N和点A的连线相等,即AM=AN。
这题出的十分严谨,寥寥数笔就将欧几里得的几何之美体现的淋漓尽致。
罗巴切夫斯基的平行公理在此难以引用,数学王子高斯的新几何理论也没有用武之地。
王庭柏提前学过的大学几何知识都在这道几何题上被封印了。
这可以理解为,从1加到100不能利用等差数列的求和公式直接求和,而是要用最简单最朴素的加法如同小学生一样,一个数一个数的往上加!
王庭柏摸了摸下巴在心中暗暗想到:“这题出的有水平!没有让人钻空子的地方,只能用几何学的几个最基础的、绝大部的人都学过的知识去解决。”
纯粹的几何是对一个人逻辑推理能力的挑战,是对图形的观察力的考验,先进的数学理论在此都不再适用,只能用最基本的点线面去征服它!
王庭柏没有着急,而是细细的再读了一遍题目。
突然灵光闪现,他将两条切线做了延长线,将倒着的小梯形延长成一个三角形,并将交点命名为K。
再做∠BAC的平分线交于BC上,命名交点为L。
再由线的平行得出三角形相似。
结合内角平分线定理得出LM=LN,
再由两三角形全等,得出结论
证毕!
“嗯,厉害!”刚才的监考老师从王庭柏解出第一题后就站在他旁边,看着王庭柏干脆利落的答出第二问,他情不自禁的赞叹了一下。
监考老师也是数学老师,他知道这题由他来做绝对不会这么流畅,真是长江后浪推前浪,前浪死在沙滩上。
全心全意投入在题目中的王庭柏刚才没有注意到监考老师,听到他的感叹被吓得一激灵。
“这老师好烦,一直站我旁边不知道干啥!”王庭柏不禁在心中暗暗吐槽。
然后不满的看了他一眼。
监考老师也意识到现在还在考试,刚才打扰到考生了,只好讪讪的走开。
做数学题就跟写小说一样,文思泉涌的时候一天写个一万多字也就是一下午的事,要是思路中断了那站在电脑前写一天也憋不出一千个字来。
王庭柏的状态就被一声赞叹打断了。
他只好重整旗鼓,重新看了一遍上两题的解答过程,找到点感觉后看了最后两题,也是分值50分的两题。第三题是一道集合中的组合最值问题,比较常规的一道题。
当然普通高中生都看不懂题目让你求啥。
设S={1,2,3,...,100}。求最大的整数k,使得S有k个互不相同的非空子集,具有性质:对这k个子集中任意两个不同子集,若它们的交非空,则它们交集中的最小元素与这两个子集中的.最大元素均不相同。
“嗯,组合最值问题。这题读了起来倒是挺拗口的,但仔细一看来个小技巧就行了,不就数学归纳法和抽屉原理就能给秒了吗?50分就这啊?”王庭柏一只手转动着笔,一边想到。
数学归纳法的思想可以追溯至公元前330年至公元前275的欧几里得。
不过严格的数学归纳法在1575年意大利数学家、物理学家莫洛克斯的《算术》一书中才明确了这一方法,再由法国著名数学家帕斯卡承认莫洛克斯引用了这方法,并在他的著作《三角阵算术》中运用了这一方法。
也不知道为何,一般认为帕斯卡是数学归纳法的主要发明人,莫洛克斯心里苦啊。
抽屉原理听起来很简单:桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放,我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果。
这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。
这也能被称为原理?
这不是是个人都知道的常识吗?
但抽屉原理是由德国数学家狄利克雷提出,它是组合数学里十分重要的定理。
抽屉原理的一般含义为:“如果每个抽屉代表一个集合,每一个苹果就可以代表一个元素,假如有n+1个元素放到n个集合中去,其中必定有一个集合里至少有两个元素。
王庭柏一想到这两个原理,顿时思路就来了。
灵感如泉水般涌出,他拿起水笔,深吸一口气进入到第三题的解题过程中去。
二十分钟之后,王庭柏写完了第三题的全部解答过程,经数学归纳法推理证明,再归纳假设,最后用抽屉原理得出结论。
所求的
王庭柏得出答案后有点后悔,这题根据题意可以用极值法直接得出答案的,不用像他一样傻乎乎的一步步往下走。
有了结论再想办法去验证结论,这远比推导一个未知数容易得多。
虽然有系统的加持,但在解题过程中,王庭柏还是发现了自己的不足。
真理和谬论或许并不像表面那样的对立,在一定条件下真理会变成谬论,谬论也会变成真理。
就像进行双缝干涉实验之前,人们永远也不会想到光具有波粒二象性,光会因人的观察而改变自己的性质。
王庭柏有点走神,想的很远很深,深感自己的学术高塔面前还只是个蹒跚学步的幼儿。
“考试时间还有一个小时,请各位考生抓紧答题。”站在后面的另一位监考老师向全体考试提醒道。
王庭柏回过神来,还剩最后一题。
最后一题也就是俗话说的压轴题,理论上来说应该是最难的一题。
但是王庭柏一见这题就差点笑出了声。
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卷面上的条件不多,但是图形却略显复杂。
大三角里套着三个小三角形,还有一个倒着的梯形,圆与三角形相交,并作了它们的切线,还有各种延长线以及延长线的交点,纵横交错,穿过圆和三角形的直线有十多条。
正常高中生看到这种题,立即就会产生将试卷撕毁的冲动。
题目给了几个已知条件,最上面的三角形△ABC为锐角三角形,且∠BAC不等于60°,外接圆的两条切线和交点的连线长度相同。
要求答题者求证其中两個交点M,N和点A的连线相等,即AM=AN。
这题出的十分严谨,寥寥数笔就将欧几里得的几何之美体现的淋漓尽致。
罗巴切夫斯基的平行公理在此难以引用,数学王子高斯的新几何理论也没有用武之地。
王庭柏提前学过的大学几何知识都在这道几何题上被封印了。
这可以理解为,从1加到100不能利用等差数列的求和公式直接求和,而是要用最简单最朴素的加法如同小学生一样,一个数一个数的往上加!
王庭柏摸了摸下巴在心中暗暗想到:“这题出的有水平!没有让人钻空子的地方,只能用几何学的几个最基础的、绝大部的人都学过的知识去解决。”
纯粹的几何是对一个人逻辑推理能力的挑战,是对图形的观察力的考验,先进的数学理论在此都不再适用,只能用最基本的点线面去征服它!
王庭柏没有着急,而是细细的再读了一遍题目。
突然灵光闪现,他将两条切线做了延长线,将倒着的小梯形延长成一个三角形,并将交点命名为K。
再做∠BAC的平分线交于BC上,命名交点为L。
再由线的平行得出三角形相似。
结合内角平分线定理得出LM=LN,
再由两三角形全等,得出结论
证毕!
“嗯,厉害!”刚才的监考老师从王庭柏解出第一题后就站在他旁边,看着王庭柏干脆利落的答出第二问,他情不自禁的赞叹了一下。
监考老师也是数学老师,他知道这题由他来做绝对不会这么流畅,真是长江后浪推前浪,前浪死在沙滩上。
全心全意投入在题目中的王庭柏刚才没有注意到监考老师,听到他的感叹被吓得一激灵。
“这老师好烦,一直站我旁边不知道干啥!”王庭柏不禁在心中暗暗吐槽。
然后不满的看了他一眼。
监考老师也意识到现在还在考试,刚才打扰到考生了,只好讪讪的走开。
做数学题就跟写小说一样,文思泉涌的时候一天写个一万多字也就是一下午的事,要是思路中断了那站在电脑前写一天也憋不出一千个字来。
王庭柏的状态就被一声赞叹打断了。
他只好重整旗鼓,重新看了一遍上两题的解答过程,找到点感觉后看了最后两题,也是分值50分的两题。第三题是一道集合中的组合最值问题,比较常规的一道题。
当然普通高中生都看不懂题目让你求啥。
设S={1,2,3,...,100}。求最大的整数k,使得S有k个互不相同的非空子集,具有性质:对这k个子集中任意两个不同子集,若它们的交非空,则它们交集中的最小元素与这两个子集中的.最大元素均不相同。
“嗯,组合最值问题。这题读了起来倒是挺拗口的,但仔细一看来个小技巧就行了,不就数学归纳法和抽屉原理就能给秒了吗?50分就这啊?”王庭柏一只手转动着笔,一边想到。
数学归纳法的思想可以追溯至公元前330年至公元前275的欧几里得。
不过严格的数学归纳法在1575年意大利数学家、物理学家莫洛克斯的《算术》一书中才明确了这一方法,再由法国著名数学家帕斯卡承认莫洛克斯引用了这方法,并在他的著作《三角阵算术》中运用了这一方法。
也不知道为何,一般认为帕斯卡是数学归纳法的主要发明人,莫洛克斯心里苦啊。
抽屉原理听起来很简单:桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放,我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果。
这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。
这也能被称为原理?
这不是是个人都知道的常识吗?
但抽屉原理是由德国数学家狄利克雷提出,它是组合数学里十分重要的定理。
抽屉原理的一般含义为:“如果每个抽屉代表一个集合,每一个苹果就可以代表一个元素,假如有n+1个元素放到n个集合中去,其中必定有一个集合里至少有两个元素。
王庭柏一想到这两个原理,顿时思路就来了。
灵感如泉水般涌出,他拿起水笔,深吸一口气进入到第三题的解题过程中去。
二十分钟之后,王庭柏写完了第三题的全部解答过程,经数学归纳法推理证明,再归纳假设,最后用抽屉原理得出结论。
所求的
王庭柏得出答案后有点后悔,这题根据题意可以用极值法直接得出答案的,不用像他一样傻乎乎的一步步往下走。
有了结论再想办法去验证结论,这远比推导一个未知数容易得多。
虽然有系统的加持,但在解题过程中,王庭柏还是发现了自己的不足。
真理和谬论或许并不像表面那样的对立,在一定条件下真理会变成谬论,谬论也会变成真理。
就像进行双缝干涉实验之前,人们永远也不会想到光具有波粒二象性,光会因人的观察而改变自己的性质。
王庭柏有点走神,想的很远很深,深感自己的学术高塔面前还只是个蹒跚学步的幼儿。
“考试时间还有一个小时,请各位考生抓紧答题。”站在后面的另一位监考老师向全体考试提醒道。
王庭柏回过神来,还剩最后一题。
最后一题也就是俗话说的压轴题,理论上来说应该是最难的一题。
但是王庭柏一见这题就差点笑出了声。
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